Trasformazioni composte
Nel post precedente si è visto che se
si usano le coordinate omogenee nel piano cartesiano tutte le
trasformazioni possono essere fatte come prodotto di un'unica matrice
e quindi anche le trasformazioni composte possono essere fatte senza
eccezioni come prodotto di matrici.
Questo semplifica non poco tutti i
ragionamenti ed i calcoli con GeoGebra e permette di vedere le
trasformazioni affini come un unico gruppo di trasformazioni.
La figura geometrica F viene
trasformata in F' con un'operazione del tipo:
F' = F * M con det M ≠
0
Noi lavoriamo con i punti ed eseguiamo
le trasformazioni su questi, per trasformare un poligono eseguiamo le
operazioni sui suoi vertici e poi unendo i punti trasformati
otteniamo il suo trasformato.
Le coordinate dei punti A, B, C, D, E
possono essere modificate intervenendo sulle celle del foglio di
calcolo o possono essere trascinati direttamente dalla finestra
grafica, anche la matrice M di trasformazione può essere
modificata per verificare gli effetti sul grafico.
Per chi fosse interessato il file di
questa applet può essere trovato all'indirizzo:
Matrice di trasformazione con
determinante nullo
Se il determinante della matrice di
trasformazione è zero vuol dire che la prima e la seconda riga della
matrice non sono linearmente indipendenti e quindi i due vettori in
cui sono trasformati i versori fondamentali appartengono alla stessa
retta.
In questo caso tutti i punti
trasformati sono allineati.
Per chi fosse interessato il file di
questa applet può essere trovato all'indirizzo:
Nel caso particolare in cui la prima
linea è nulla i punti della figura trasformata sono sull'asse y
Questa costruzione si ottiene inserendo
nell'area della matrice M i relativi vcalori
Matrici Inverse
Data una matrice di trasformazione M
per trovare la trasformazione inversa che riporta la figura
trasformata nella sua posizione iniziale, basta trovare una matrice
N tale che M * N = I dove I è la matrice identica. Tale
matrice viene chiamata M-1.
In pratica per studiare le
trasformazioni si possono applicare le proprietà dell'algebra delle
matrici.
I procedimenti per il calcolo della
matrice inversa dei una matrice M è legato al fatto che il
determinante di M sia diverso da zero, tali calcoli comunque
vengono svolti da GeoGebra.
Sono mostrati due esempi di funzioni
inverse, per verificare basta fare i prodotti righe per colonne delle
matrici e notare che T * T-1 = I e
che R * R-1 = I.
Notiamo che l'inversa della matrice T
che opera una traslazione di un vettore v = [ p q ] è la
matrice che opera la traslazione opposta -v = [ -p -q ]
cioè che riporta la figura nella sua posizione iniziale. Lo stesso
si può dire per la matrice R che opera una rotazione di un angolo
α
la sua inversa fa una rotazione di -α
Trasformazioni composte
Data una figura F la sua trasformata
F' = F * M * N è la trasformazione ottenuta facendo su F la
trasformazione M e sulla figura risultante la trasformazione N.
Queste proprietà ci permettono di scomporre trasformazioni complesse
nel prodotto di trasformazioni più semplici.
Come primo esempio vediamo come è
possibile risolvere nel modo visto un esempio di trasformazione già
incontrato: la simmetria di una figura rispetto ad un punto generico
Simmetria rispetto ad un punto
La simmetria rispetto ad un punto P
diverso dall'origine può essere calcolata usando tre trasformazioni
successive:
1 - Traslazione dell'origine degli
assi in P (equivale a traslare P nell'origine)
2 - Simmetria rispetto alla nuova
origine
3 - Traslazione inversa che riporti
l'origine nella posizione iniziale
La matrice che opera la simmetria
rispetto ad un punto quindi è uguale al prodotto delle tre matrici
che operano le tre trasformazioni elementari descritte sopra.
Nell'area del foglio di calcolo con lo
sfondo giallo si mettono le coordinate dei punti cui viene aggiunta
una colonna di 1.
Dato un punto libero P del piano
rispetto al quale viene calcolata la simmetria, si usano le sue
coordinate per costruire la matrice T.
Contenuto della cella B9 =x(P)
Contenuto della cella C9 =y(P)
gli altri valori
di T, come quello di So sono costanti.
Matrice di
trasformazione: M = T' * So * T
Figura
trasformata: F' = M * F
Si estraggono i
valori delle coordinate della figura trasformata:
A' = (Elemento[F', 1, 1],
Elemento[F', 1, 2])
B' = (Elemento[F', 2, 1],
Elemento[F', 2, 2])
C' = (Elemento[F', 3, 1],
Elemento[F', 3, 2])
D' = (Elemento[F', 4, 1],
Elemento[F', 4, 2])
E' = (Elemento[F', 5, 1],
Elemento[F', 5, 2])}
Si procede alla
sua rappresentazione: Gf' = Poligono[A', B', C', D', E']
Rotazione rispetto ad un punto
Lo schema di questa trasformazione è
lo stesso di quello della simmetria rispetto ad un punto, basta
sostituire ad So la matrice di rotazione rispetto.
Definiamo anche uno slider nella
variabile alfa in modo che sia il punto che l'angolo possono
essere modificati in modo visuale.
Contenuto della Cella B11: =cos(alfa)
Contenuto della Cella C11: =sin(alfa)
Contenuto della Cella B12:
=-sin(alfa)
Contenuto della Cella C12: =cos(alfa)
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Simmetria rispetto ad una retta
La simmetria rispetto ad una retta
generica r scritta nella forma esplicita y = m x + q può essere
calcolata usando cinque trasformazioni successive:
1 - Traslazione dell'origine nel punto (0, q) - (la retta r passa
per l'origine delle nuove coordinate)
2 - Rotazione in senso orario di un angolo uguale all'angolo tra
la direzione positiva dell'asse x e la retta α = - atan(m) - (La
retta r diventa l'asse delle ascisse delle nuove coordinate)
3 - Simmetria rispetto all'asse delle x
4 - Rotazione in senso antiorario di α = atan(m)
5 - Traslazione inversa della prima
che riporta tutto a posto
La retta r può essere
determinata usando degli slider nelle variabili m e q
oppure come retta passante per due punti con m e q
calcolati:
m = Pendenza[r] q = y(Q)
dove Q = Intersezione[r, asseY]
Il valore di m serve poi per calcolare
l'angolo di inclinazione alfa = atan(m)
con l'asse delle x.
Si definisce una matrice T di
traslazione di cui l'unico valore variabile è:
Contenuto della Cella C9: =q
ed una una matrice R di
rotazione
Contenuto della Cella B11: =cos(alfa)
Contenuto della Cella C11: =sin(alfa)
Contenuto della Cella B12:
=-sin(alfa)
Contenuto della Cella C12: =cos(alfa)
La matrice Sx per calcolare la
simmetria rispetto all'asse x
Calcoliamo con queste la matrice di
trasformazione: M = T' * R' *Sx * R * T
Figura trasformata: F' = F * M
che poi va rappresentata con i soliti
procedimenti
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Proiezione
su una retta y = mx + q
Come conseguenza di quanto visto, modificando la seconda riga della matrice Sx si ottiene la proiezione della figura sulla retta.
Si tratta degli stessi punti che possiamo ottenere mandando le perpendicolari dai vertici del poligono alla retta e calcolando i punti di intersezione.
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